Question

12．设$a=\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cosx}dx$，则二项式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展开式中含x²项的系数是-192．

Answer 1

分析 求定积分可得a=2，在二项式（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求得r的值，可得展开式中含x²项的系数．

解答 解：∵$a=\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cosx}dx$=sinx${|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=1-（-1）=2，
∴二项式（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•2^6-r•x^3-r，
令3-r=2，求得r=1，可得展开式中含x²项的系数为-6×2⁵=-192，
故答案为：-192．

点评 本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．