Question

4．已知函数f（x）=2^x的反函数为f^-1（x）
（1）若f^-1（x）-f^-1（1-x）=1，求实数x的值；
（2）若关于x的方程f（x）+f（1-x）-m=0在区间[1，2]内有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）易得反函数为f^-1（x）=log₂x，由对数的运算可解x；
（2）问题可化为求函数y=2^x+2^1-x在区间[1，2]上的值域，由函数的单调性易得．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2^x，
∴其反函数为f^-1（x）=log₂x，
∵f^-1（x）-f^-1（1-x）=1，
∴log₂x-log₂（1-x）=log₂$\frac{x}{1-x}$=1，
∴$\frac{x}{1-x}$=2，解得x=$\frac{2}{3}$；
（2）∵关于x的方程f（x）+f（1-x）-m=0在区间[1，2]内有解，
∴2^x+2^1-x-m=0在区间[1，2]内有解，即m=2^x+2^1-x在区间[1，2]内有解，
∴m即为函数y=2^x+2^1-x在区间[1，2]上的值域，
∵y=2^x+2^1-x=2^x+$\frac{2}{{2}^{x}}$在[1，2]上单调递增，
∴当x=1时，y取最小值3，当x=2时，y取最大值$\frac{9}{2}$，
∴实数m的取值范围为[3，$\frac{9}{2}$]

点评 本题考查反函数，涉及指数函数和对数函数的性质，属基础题．