Question

18．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=$\sqrt{2}$．
（I）求证：MN∥平面PDC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过证明MN∥PD，利用直线与平面平行的判定定理证明MN∥平面PDC．
（Ⅱ）说明∠BPM就是直线PB与平面PAC所成角，然后求解直线PB与平面PAC所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）在正三角形ABC中，$BM=2\sqrt{3}$，
在△ACD中，因为M为AC中点，DM⊥AC，所以AD=CD，∠CDA=120°，
所以$DM=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，所以BM：MD=3：1…（4分）
在等腰直角三角形PAB中，$PA=AB=4，PB=4\sqrt{2}$，
所以BN：NP=3：1，BN：NP=BM：MD，所以MN∥PD，
又MN?平面PDC，PD?平面PDC，所以MN∥平面PDC；…（7分）
（Ⅱ）在正三角形ABC中，BM⊥AC，
又因为PA⊥平面ABCD，BM?平面ABCD，所以PA⊥BM，
而PA∩AC=A，因此BM⊥平面PAC，
连结PM，因此∠BPM就是直线PB与平面PAC所成角；…（10分）
在直角三角形PBM中，$BM=2\sqrt{3}，PB=4\sqrt{2}$，
因此，$sin∠BPM=\frac{BM}{PB}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{4\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$…（15分）

点评 本题考查直线与平面所成角，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．