Question

9．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-3{x^2}+4x，0≤x＜1\\ f（x-1）+1，x≥1.\end{array}\right.$，则f（3）=3；若关于x的方程f（x）=ax+1恰有三个不同的解，则实数a的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$）∪（4-2$\sqrt{3}$，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 作出函数f（x）和y=ax+1的图象，将方程问题转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由f（x）的表达式得f（3）=f（2）+1=f（1）+1+1=f（1）+2=f（0）+1+2=f（0）+3=0+3=3，
当1≤x＜2时，0≤x-1＜1，
此时f（x）=f（x-1）+1=-3（x-1）²+4（x-1）+1=-3x²+10x-6，
当2≤x＜3时，1≤x-1＜2，则f（x）=f（x-1）+1=-3（x-1）²+10（x-1）-6+1=-3x²+16x-18，
作出函数f（x）的图象如图：
若于x的方程f（x）=ax+1恰有三个不同的解，
则等价为函数f（x）与y=ax+1恰有三个不同的交点，
直线y=ax+1过定点D（0，1），
当直线过点C（1，1）时，此时a=0，直线和f（x）有2个交点，
当直线过点A（2，2）时，此时2=2a+1，解得a=$\frac{1}{2}$，此时直线和f（x）有4个交点，
当直线经过点B（3，3）时，即3=3a+1，解得a=$\frac{2}{3}$，
当直线y=ax+1与f（x）=-3x²+4x相切时，
即-3x²+4x=ax+1，
即3x²+（a-4）x+1=0，
由判别式△=（a-4）²-12=0，
解得a=4+2$\sqrt{3}$（此时直线的斜率a＜$\frac{2}{3}$，不成立舍去）或a=4-2$\sqrt{3}$，
此时直线和f（x）有4个交点，
综上要使两个函数的图象恰有三个不同的交点，
则直线满足在DC和DA之间，或在切线和DB之间，
即0＜a＜$\frac{1}{2}$，或4-2$\sqrt{3}$＜a＜$\frac{2}{3}$．
即（0，$\frac{1}{2}$）∪（4-2$\sqrt{3}$，$\frac{2}{3}$）．
故答案为：3，（0，$\frac{1}{2}$）∪（4-2$\sqrt{3}$，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，是个难题．