Question

19．已知函数g（x）=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$cos2x+1，x∈R，函数f（x）与函数g（x）的图象关于原点对称．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）设点（x，y）是函数y=f（x）的图象上任意一点，利用对称性得到点（-x，-y）在y=g（x）的
图象上，然后求解函数的解析式．
（2）利用两角和的正弦函数化简函数的解析式，通过正弦函数的单调性求解单调区间，然后求解函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

解答 （本题满分12分） 本题共有2个小题，第1小题满分（5分），第2小题满分（7分）．
解（1）设点（x，y）是函数y=f（x）的图象上任意一点，由题意可知，点（-x，-y）在y=g（x）的
图象上，
于是有$-y=\frac{1}{2}sin（-2x）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos（-2x）+1，x∈R$．
所以，$f（x）=\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-1$，x∈R．
（理科）
（2）由（1）可知，$f（x）=\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-1=sin（2x+\frac{π}{3}）-1，x∈[0，π]$，记D=[0，π]．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，解得$kπ-\frac{5}{12}π≤x≤kπ+\frac{π}{12}，k∈Z$，
则函数f（x）在形如$[kπ-\frac{5}{12}π，kπ+\frac{π}{12}]，k∈Z$的区间上单调递增．
结合定义域，可知上述区间中符合题意的整数k只能是0和1．
令k=0得${D_1}=[-\frac{5}{12}π，\frac{π}{12}]$；k=1时，得${D_1}=[\frac{7}{12}π，\frac{13}{12}π]$．
所以，$D∩{D_1}=[0，\frac{π}{12}]$，$D∩{D_2}=[\frac{7}{12}π，π]$．
于是，函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间是$[0，\frac{π}{12}]$和$[\frac{7}{12}π，π]$．

点评 本题考查三角函数的解析式的求法，两角和与差的三角函数正弦函数的单调性的应用，考查计算能力．