Question

11．在平面直角坐标系xOy中，点列A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…，A_n（x_n，y_n），…，满足$\left\{\begin{array}{l}{x_{n+1}}=\frac{1}{2}（{x_n}+{y_n}）\;\\{y_{n+1}}=\frac{1}{2}（{x_n}-{y_n}）\;\end{array}$若A₁（1，1），则$\lim_{n→∞}（|O{A_1}|+|O{A_2}|+…+|O{A_n}|）$=$2+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知的数列递推式得到数列{x_n}的奇数项和偶数项均构成以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，数列{y_n}的奇数项构成以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，偶数项均为0，然后分n为奇数和偶数求得|OA_n|，再利用等比数列和的极限得答案．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x_{n+1}}=\frac{1}{2}（{x_n}+{y_n}）\;\\{y_{n+1}}=\frac{1}{2}（{x_n}-{y_n}）\;\end{array}$，得x_n=x_n+1+y_n+1，y_n=x_n+1-y_n+1，
∴x_n=x_n+1+y_n+1=x_n+2+y_n+2+x_n+2-y_n+2=2x_n+2，
y_n=x_n+1-y_n+1=x_n+2+y_n+2-x_n+2+y_n+2=2y_n+2，
∴${x}_{n+2}=\frac{1}{2}{x}_{n}$，${y}_{n+2}=\frac{1}{2}{y}_{n}$，
∵x₁=1，y₁=1，∴x₂=1，y₂=0，
∴数列{x_n}的奇数项和偶数项均构成以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
则${x}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{\frac{n-1}{2}}，n为奇数}\\{（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}-1}，n为偶数}\end{array}\right.$；
数列{y_n}的奇数项构成以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，偶数项均为0，
${y}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{\frac{n-1}{2}}，n为奇数}\\{0，n为偶数}\end{array}\right.$．
∴当n为奇数时，$|O{A}_{n}|=\sqrt{2（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
当n为偶数时，$|O{A}_{n}|=（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}-1}$，
∴$\lim_{n→∞}（|O{A_1}|+|O{A_2}|+…+|O{A_n}|）$
=$\sqrt{2}•\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$$+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=$2+2\sqrt{2}$．
故答案为：$2+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比数列的通项公式，训练了数列极限的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．