Question

16．如图，已知点P（2，0），且正方形ABCD内接于⊙O：x²+y²=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{ON}$的取值范围为[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 首先，根据$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，设M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα，$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα），可得N（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα，$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα），然后写出向量$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα-2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα）和$\overrightarrow{ON}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα，$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα），从而得到$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\sqrt{2}$sinα，进而确定其范围．

解答 解：设M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα，$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα），
∵$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
∴N（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα，$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα），
∴$\overrightarrow{ON}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα，$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα），$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα，$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα），
∴$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα-2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα），
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{ON}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα-2）+$\frac{1}{2}$sinαcosα
=$\sqrt{2}$sinα，
∵sinα∈[-1，1]，
∴$\sqrt{2}$sinα∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范围是[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．
故答案为：[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

点评 本题重点考查了平面向量的实际运用，重点掌握平面向量的坐标运算等知识，属于中档题．