Question

5．已知函数f（x）=ln（ax+1）-$\frac{2ax}{x+2}$（a＞0，a为常数）．
（Ⅰ）当0$＜a≤\frac{1}{2}$时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x≥0时，若不等式f（x）≥2ln2-$\frac{3}{2}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数f′（x）=$\frac{ax[x-（4a-4）]}{（ax+1）（x+2）^{2}}$，而f′（x）=0的两个根为x=0，或x=4a-4，对a分成0$＜a＜\frac{1}{2}$，和a=$\frac{1}{2}$两种情况，分别在每种情况里判断导数f′（x）的符号，和对应的区间，从而求出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）讨论a和1的关系：0＜a≤1，和a＞1，从而判断f′（x）的符号和f（x）的单调性，从而求出f（x）的最小值，让最小值满足大于等于2ln2-$\frac{3}{2}$即可．而在a＞1时，判断出f（4a-4）=$2ln（2a-1）-\frac{（2a-1）^{2}-1}{2a-1}$是f（x）的最小值，这时令g（x）=$2lnx-x+\frac{1}{x}$，并容易判断该函数在（0，+∞）上为减函数，而2ln2$-\frac{3}{2}$=g（2），从而只需g（2a-1）≥g（2），根据g（x）的单调性从而求出a的范围，对这两种情况下求得的a的取值范围求并集即得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）$f′（x）=\frac{ax[x-（4a-4）]}{（ax+1）（x+2）^{2}}$；
f（x）中x要满足：ax+1＞0，且x≠-2，而$0＜a≤\frac{1}{2}$；
∴x满足$\left\{\begin{array}{l}{x＞-\frac{1}{a}}\\{x≠-2}\end{array}\right.$；
（1）当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，$-\frac{1}{a}$＜4a-4＜-2；
∴f（x）在（$-\frac{1}{a}，4a-4$），（0，+∞）上递增，在（4a-4，-2），（-2，0）上递减；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，$f′（x）=\frac{x}{（x+2）^{2}}$，而x＞-2；
∴f（x）在（-2，0）上递减，在（0，+∞）上递增；
（Ⅱ）（1）若0＜a≤1，∵x≥0，∴f′（x）≥0恒成立；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增；
∴f（x）≥f（0）=0；
而$0＞2ln2-\frac{3}{2}$成立；
∴此时0＜a≤1；
（2）若a＞1，则：
x∈[0，4a-4）时，f′（x）≤0，x∈（4a-4，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（4a-4）=$2ln（2a-1）-\frac{（2a-1）^{2}-1}{2a-1}$是f（x）的最小值；
令g（x）=$2lnx-x+\frac{1}{x}$，则f（4a-4）=g（2a-1）；
$g′（x）=-\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}≤0$；
∴g（x）在（0，+∞）上为减函数；
∴只需f（4a-4）=g（2a-1）≥2ln2-3=$2ln2-2+\frac{1}{2}=g（2）$；
∴0＜2a-1≤2；
∴$\frac{1}{2}＜a≤\frac{3}{2}$；
∴此时1$＜a≤\frac{3}{2}$
综合（1）（2）可知实数a的取值范围为（0，$\frac{3}{2}$]．

点评 考查根据函数导数符号判断函数单调性，求函数单调区间的方法，求函数单调区间时需注意函数的定义域，根据函数单调性求函数最值，根据导数求函数的最值，以及构造函数解决问题的方法．