Question

10．已知四棱锥P-ABCD的各条棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8，则线段MN的长为（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 利用已知条件求出MA，BN，通过空间向量的数量积去MN即可．

解答 解：四棱锥P-ABCD的各条棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8，
可得PA⊥BD，∠PAB=60°，∠ABD=45°，MA=8，AB=13，BN=5$\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}$，
∴${\overrightarrow{MN}}^{2}=（\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN）^{2}}$，
${\overrightarrow{MN}}^{2}={\overrightarrow{MA}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BN}}^{2}+2\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{BN}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BN}$=8²+13²+（$5\sqrt{2}$）²+2×$8×13×（-\frac{1}{2}）$+2×$13×5\sqrt{2}×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$+0=49．
∴|MN|=7．
故选：C．

点评 本题考查空间两点间距离公式的应用，空间向量的数量积的应用，注意向量的夹角是解题的关键．