Question

19．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的一个零点为x=1，另外两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则$\frac{b}{a}$取值范围是（-2，$-\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 把x=1，y=0代入函数解析式求得a+b+c的值；然后求得a，b和c的关系代入函数解析式消去c，整理成f（x）=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）的形式，设g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b，由椭圆和双曲线的离心率的范围确定两根的范围，即有g（0）＞0，g（1）＜0，最后利用线性规划求得$\frac{b}{a}$的范围．

解答 解：依题意可知f（1）=1+a+b+c=0，
∴a+b+c=-1
1+a+b+c=0得c=-1-a-b，
代入f（x）=x³+ax²+bx-1-a-b
=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1），
设g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b
g（x）=0的两根满足0＜x₁＜1，x₂＞1．
即有g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0，
如图画出不等式组表示的可行域．由$\frac{b}{a}$=$\frac{b-0}{a-0}$表示点（a，b）与（0，0）的斜率，
用线性规划得$\frac{b}{a}$的取值范围是（-2，-$\frac{1}{2}$）．
故答案为：（-2，$-\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查了函数的零点和根的分布，圆锥曲线的共同特征，线性规划的基础知识．考查基础知识的综合运用．