Question

6．如图，已知F为抛物线y²=4x的焦点，点A，B，C在该抛物线上，其中A，C关于x轴对称（A在第一象限），且直线BC经过点F．
（Ⅰ）若△ABC的重心为G（$\frac{3}{2}，\frac{4}{3}$），求直线AB的方程；
（Ⅱ）设S_△ABO=S₁，S_△CFO=S₂，其中O为坐标原点，求S₁²+S₂²的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₁，-y₁），运用三角形的重心坐标公式和抛物线方程，即可求得A，B的坐标，进而得到直线方程；
（Ⅱ）通过直线BC，AB的方程和抛物线方程，运用韦达定理，可得恒过定点（-1，0），即有S_△ABO=$\frac{1}{2}$|OE|•|y₂-y₁|=$\frac{1}{2}$|y₂-y₁|，S_△CFO=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁|=$\frac{1}{2}$|y₁|，y₁y₂=4，再由基本不等式计算即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₁，-y₁），
则△ABC的重心坐标为G（$\frac{2{x}_{1}+{x}_{2}}{3}$，$\frac{{y}_{2}}{3}$），
由题意可得2x₁+x₂=$\frac{9}{2}$，且y₂=4，
由y₂²=4x₂，y₁²=4x₁，
可得x₂=4，y₂=4，和x₁=$\frac{1}{4}$，y₁=1，
直线AB的斜率k=$\frac{4-1}{4-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{5}$，
即有直线AB的方程为4x-5y+4=0；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₁，-y₁），
设直线BC：x=my+1，代入抛物线方程y²=4x，可得
y²-4my-4=0，可得-y₁y₂=-4，即y₁y₂=4，
再设直线AB：y=kx+n，代入抛物线方程，可得
ky²-4y+4n=0，y₁y₂=$\frac{4n}{k}$=4，即n=k，
则有直线AB：y=k（x+1），即有直线AB恒过定点E（-1，0），
则S_△ABO=$\frac{1}{2}$|OE|•|y₂-y₁|=$\frac{1}{2}$|y₂-y₁|，
S_△CFO=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁|=$\frac{1}{2}$|y₁|，
即有S₁²+S₂²=$\frac{1}{4}$（y₂-y₁）²+$\frac{1}{4}$y₁²=$\frac{2{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-8}{4}$=$\frac{1}{4}$（2y₁²+$\frac{16}{{{y}_{1}}^{2}}$-8）
≥$\frac{1}{4}$（2$\sqrt{2{{y}_{1}}^{2}•\frac{16}{{{y}_{1}}^{2}}}$-8）=2$\sqrt{2}$-2．
即有S₁²+S₂²的最小值为2$\sqrt{2}$-2，当且仅当y₁=${2}^{\frac{3}{4}}$，y₂=${2}^{\frac{5}{4}}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．