Question

1．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{b}$=（1，0），$\overrightarrow{c}$=（3，4），若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）∥$\overrightarrow{c}$，则实数λ=$\frac{1}{2}$或$-\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 设出向量$\overrightarrow{a}$，利用已知条件列出方程，求解$\overrightarrow{a}$，然后通过共线关系求解即可．

解答 解：设$\overrightarrow{a}$=（x，y），向量|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，$\overrightarrow{b}$=（1，0），可得：$\left\{\begin{array}{l}x=1\\{x}^{2}+{y}^{2}=5\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=±2\end{array}\right.$，
若$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$，$\overrightarrow{c}$=（3，4），$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$=（1+λ，2），（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）∥$\overrightarrow{c}$，得（1+λ）×4=3×2，$λ=\frac{1}{2}$．
若$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2\end{array}\right.$，$\overrightarrow{c}$=（3，4），$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$=（1+λ，-2），（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）∥$\overrightarrow{c}$，得（1+λ）×4=-3×2，$λ=-\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$或$-\frac{5}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积以及向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．