Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{4}$，a₂=$\frac{3}{4}$，2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b₁=1，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n．
（1）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列；
（2）求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）可以先根据数列{a_n}的递推关系式求的数列的通项，再有数列{b_n}满足的关系，将a_n 与b_n作差化简即可获得解答；
（2）由{a_n}为等差数列，数列{b_n-a_n}为等比数列，结合等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可．

解答 （1）证明：∵a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N*），
∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1（n≥2），
即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=…=a₂-a₁．
∴数列{a_n}为等差数列．
∵{a_n}为等差数列，
∴公差$d={a}_{2}-{a}_{1}=\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}={a}_{1}+（n-1）×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}n-\frac{1}{4}$．
∵3b_n-b_n-1=n（n≥2）
∴${b}_{n}=\frac{1}{3}{b}_{n-1}+\frac{1}{3}（n≥2）$，
${b}_{n}-{a}_{n}=\frac{1}{3}{b}_{n-1}+\frac{1}{3}n-\frac{1}{2}n+\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{3}（{b}_{n-1}-\frac{1}{2}n+\frac{3}{4}）=\frac{1}{3}[{b}_{n-1}-\frac{1}{2}（n-1）+\frac{1}{4}]$
=$\frac{1}{3}（{b}_{n-1}-{a}_{n-1}）$
∴$\frac{1}{3}[{b}_{n-1}-\frac{1}{2}（n-1）+\frac{1}{4}]=\frac{1}{3}（{b}_{n-1}-{a}_{n-1}）$
又b₁-a₁≠0，
∴对n∈N*，${b}_{n}-{a}_{n}≠0，得\frac{bn-an}{{b}_{n-1}-{a}_{n-1}}=\frac{1}{3}\\;\\;（n≥2）$．．
数列{b_n-a_n}是公比为$\frac{1}{3}$的等比数列．
（2）由（1）知，数列{b_n-a_n}是首项为$\frac{3}{4}$公比为$\frac{1}{3}$的等比数列．
∴${b}_{n}-{a}_{n}=\frac{3}{4}×（\frac{1}{3}）^{n-1}=\frac{1}{4}×（\frac{1}{3}）^{n-2}$
∵${a}_{n}=\frac{n}{2}-\frac{1}{4}$
∴${b}_{n}=\frac{1}{4}×（\frac{1}{3}）+\frac{n}{2}-\frac{1}{4}$

点评 本题考查由数列的递推关系确定数列通项公式的方法．在解答的过程当中充分体现了运算的能力，问题转化的能力． 属于基础题．