Question

4．m为何正整数时，方程组$\left\{\begin{array}{l}{mx+y+z=0}\\{3mx+（m-1）y+（2m-1）z=0}\\{2mx+3y+（m+3）z=0}\end{array}\right.$有非零解，并求出一组解使它满足x+2y+3z=7．

Answer 1

分析 化简方程组$\left\{\begin{array}{l}{mx+y+z=0①}\\{3mx+（m-1）y+（2m-1）z=0②}\\{2mx+3y+（m+3）z=0③}\end{array}\right.$得（5-m）（y+z）=0，从而讨论可得m=5；代入可得$\left\{\begin{array}{l}{5x+y+z=0}\\{15x+4y+9z=0}\\{10x+3y+8z=0}\end{array}\right.$，从而分析可得$\left\{\begin{array}{l}{5x+y+z=0}\\{10x+3y+8z=0}\\{x+2y+3z=7}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：由题意，
$\left\{\begin{array}{l}{mx+y+z=0①}\\{3mx+（m-1）y+（2m-1）z=0②}\\{2mx+3y+（m+3）z=0③}\end{array}\right.$
①+③-②得（5-m）（y+z）=0，
若y+z=0，则mx=0，
解得m=0（舍）或x=0；
将x=0代入②，化简得mz=0，
又∵m≠0，则z=0=y；
故不成立；
故m=5；
代入方程组得，
$\left\{\begin{array}{l}{5x+y+z=0}\\{15x+4y+9z=0}\\{10x+3y+8z=0}\end{array}\right.$，
比较容易发现上下两方程相加得到中间的一个，
因而有一个方程无效，删掉中间的一个即可；
再加上x+2y+3z=7，联立可得，
$\left\{\begin{array}{l}{5x+y+z=0}\\{10x+3y+8z=0}\\{x+2y+3z=7}\end{array}\right.$，
解得，x=-$\frac{7}{8}$，y=$\frac{21}{4}$，z=-$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查了三元一次方程组的化简与解法，属于中档题．