Question

8．已知双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一条渐近线与$y=\sqrt{3}x-1$平行，且它的一个焦点在抛物线x²=24y的准线上，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{108}=1$
• B． $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{27}=1$
• C． $\frac{y^2}{108}-\frac{x^2}{36}=1$
• D． $\frac{y^2}{27}-\frac{x^2}{9}=1$

Answer 1

分析 求出抛物线的准线方程，可得双曲线的焦点，即有c=6，再由渐近线方程可得a，b的方程，解出a，b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：由题意可得，抛物线x²=24y的准线为y=-6，
双曲线的一个焦点为（0，-6），即有c=6，
又双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一条渐近线与$y=\sqrt{3}x-1$平行，
∴$\frac{a}{b}=\sqrt{3}$，36=a²+b²=4b²，b²=9，a²=27，
则所求双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{27}-\frac{{x}^{2}}{9}=1$．
故选：D．

点评 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．