Question

5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足：csinA-acosC=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求2$\sqrt{3}sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}-cos（B+\frac{π}{4}）$的最大值，并求出取得最大值时角A、B的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理推出sinC-cosC=0．即可求解C的大小．
（2）化简函数y=$2sin（A+\frac{π}{6}）$，利用三角函数的最值求出A、B即可．

解答 解：（1）∵csinA-acosC=0，由正弦定理得：sinCsinA-sinAcosC=0，
又∵A为三角形的一内角，∴sinA≠0
∴sinC-cosC=0．
∵0＜C＜π，∴$C=\frac{π}{4}$；…（6分）
（2）设$y=2\sqrt{3}sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}-cos（B+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{3}sinA-cos（π-A）=\sqrt{3}sinA+cosA$=$2sin（A+\frac{π}{6}）$，…（9分）
又∵$0＜A＜\frac{3π}{4}$，∴当$A=\frac{π}{3}$时，y_max=2，
∴$B=π-（\frac{π}{3}+\frac{π}{4}）=\frac{5π}{12}$．…（12分）

点评 本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．