Question

15．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+3，x≤1\\-{x^2}+2x+3，x＞1\end{array}\right.$，则使f（x）-e^x-m≤0恒成立的m的范围是[2，+∞）．

Answer 1

分析 运用参数分离的方法，分别讨论当x≤1时，当x＞1时，函数f（x）-e^x的单调性和最大值的求法，注意运用导数，最后求交集即可．

解答 解：当x≤1时，f（x）-e^x-m≤0即为m≥x+3-e^x，
可令g（x）=x+3-e^x，则g′（x）=1-e^x，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）递增．g（x）在x=0处取得极大值，也为最大值，且为2，
则有m≥2  ①
当x＞1时，f（x）-e^x-m≤0即为m≥-x²+2x+3-e^x，
可令h（x）=-x²+2x+3-e^x，h′（x）=-2x+2-e^x，由x＞1，则h′（x）＜0，
即有h（x）在（1，+∞）递减，则有h（x）＜h（1）=4-e，
则有m≥4-e  ②
由①②可得，m≥2成立．
故答案为：[2，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，同时考查运用导数判断单调性，求最值的方法，属于中档题和易错题．