Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）若A，B，C成等差数列，且满足$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{\sqrt{3}cosC}$，证明：△ABC为等边三角形；
（2）若a，b，c依次成等比数列，求B的范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理结合三角形内角的范围化简已知等式可得tanC=$\sqrt{3}$，从而解得C，由2B=A+C，且A+B+C=π，即可求得A，B，C的值，即可得证．
（2）由条件得b²=ac，代入cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$ 利用基本不等式求得cosB的最小值为$\frac{1}{2}$，由此求得角B的取值范围．

解答 解：（1）证明：∵$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{\sqrt{3}cosC}$，
∴$\sqrt{3}acosC=csinA$，由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinAcosC=sinCsinA．
∵角A，B，C为△ABC中内角，sinA≠0，cosC≠0，
∴整理可得：tanC=$\sqrt{3}$，从而解得C=$\frac{π}{3}$，
又∵A，B，C成等差数列，既有2B=A+C，且A+B+C=π，
∴可解得：A=B=C=$\frac{π}{3}$，即：△ABC为等边三角形；
（2）∵a、b、c成等比数列，b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当a=b=c时，cosB=$\frac{1}{2}$，故 0＜B≤$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，诱导公式以及基本不等式的应用，属于中档题．