Question

8．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如图：

假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．
（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为$s_1^2$，$s_2^2$，试比较$s_1^2$与$s_2^2$的大小；（只需写出结论）
（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；
（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）按照题目要求想结果即可．
（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．求出P（A），P（B），P（C）．
（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望．

解答 （共13分）
解：（Ⅰ）a=0.015； …（2分）
s₁²＞s₂²．…（4分）
（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；
事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；
事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．…（6分）
所以 $P（C）=P（\overline A）P（B）+P（A）P（\overline B）=0.42$．…（8分）
（Ⅲ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3．…（9分）
P（X=0）=C₃⁰×0.3⁰×0.7³=0.343，
P（X=1）=C₃¹×0.3¹×0.7²=0.441，
P（X=2）=C₃²×0.3²×0.7¹=0.189，
P（X=3）=C₃³×0.3³×0.7⁰=0.027．
所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

…（11分）
所以X的数学期望EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．…（13分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，独立重复试验概率的求法，考查计算能力．