Question

16．函数 f（x）=cos³x+sin²x-cosx的最大值是（　　）

• A． $\frac{8}{27}$
• B． 1
• C． $\frac{32}{27}$
• D． 2

Answer 1

分析 化简已知函数换元可得y=t³-t²-t+1，t∈[-1，1]，由导数法判单调性可得当t=$-\frac{1}{3}$时，y取最大值，代值计算可得．

解答 解：化简可得f（x）=cos³x+sin²x-cosx
=cos³x+1-cos²x-cosx
令cosx=t，则t∈[-1，1]，
换元可得y=t³-t²-t+1，t∈[-1，1]，
求导数可得y′=3t²-2t-1=（3t+1）（t-1），
令y′=（3t+1）（t-1）＜0可解得-$\frac{1}{3}$＜t＜1，
令y′=（3t+1）（t-1）＞0可解得t＜-$\frac{1}{3}$或t＞1，
∴函数y=t³-t²-t+1在（-1，-$\frac{1}{3}$）上单调递增，在（$-\frac{1}{3}$，1）上单调递减，
∴当t=$-\frac{1}{3}$时，y取最大值$\frac{32}{27}$
故选：C

点评 本题考查三角函数的最值，换元后由导数法判单调性是解决问题的关键，属中档题．