Question

1．已知函数f（x）=log_a$\frac{x+1}{1-x}$，解答下列问题：
（1）求定义域；
（2）判断奇偶性；
（3）设a＞1，求当f（x）＞0时实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解不等式$\frac{x+1}{1-x}$＞0可得函数的定义域；
（2）由对数的运算可得f（-x）+f（x）=0，即f（-x）=-f（x），可判原函数为奇函数；
（3）原不等式可化为$\frac{x+1}{1-x}$＞1，解不等式可得．

解答 解：（1）由题意可得$\frac{x+1}{1-x}$＞0，解得-1＜x＜1，
∴函数f（x）=log_a$\frac{x+1}{1-x}$的定义域为（-1，1）；
（2）由（1）可得函数的定义域为（-1，1）；
又f（-x）+f（x）=log_a$\frac{-x+1}{1+x}$+log_a$\frac{x+1}{1-x}$
=log_a（$\frac{-x+1}{1+x}$•$\frac{x+1}{1-x}$）=log_a1=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴原函数为奇函数；
（3）当a＞1时f（x）＞0即$\frac{x+1}{1-x}$＞1，
∴$\frac{x+1}{1-x}$-1＞0，∴$\frac{2x}{x-1}$＜0，
解得0＜x＜1，∴实数x的取值范围为（0，1）

点评 本题考查对数函数的定义域和奇偶性，涉及不等式的解集，属基础题．