Question

12．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=5，BC=4，CC₁=3，点P在侧面BB₁C₁C上运动，且点P到棱A₁B₁和棱CD的距离之和等于m，若点P的轨迹所在曲线为椭圆，则m的取值范围（5，7]．

Answer 1

分析 如图所示，点P到棱A₁B₁为PB₁，点P棱CD的距离为PC，由于点P到棱A₁B₁和棱CD的距离之和等于m，且点P的轨迹所在曲线为椭圆，其椭圆的焦点分别为B₁，C点．可得：B₁C₁+C₁C≥m＞B₁C，即可得出．

解答 解：如图所示，
点P到棱A₁B₁为PB₁，点P棱CD的距离为PC，
∵点P到棱A₁B₁和棱CD的距离之和等于m，且点P的轨迹所在曲线为椭圆，
其椭圆的焦点分别为B₁，C点．
∴7=B₁C₁+C₁C≥m＞B₁C=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴m的取值范围是（5，7]，
故答案为：（5，7]．

点评 本题考查了椭圆的定义及其性质、长方体的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．