Question

20．若AB为过椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1中心的弦，F₁为椭圆的右焦点，则△F₁AB面积的最大值为12．

Answer 1

分析 设直线AB的方程为：ky=x，与椭圆方程联立化为（25+16k²）y²=400，解得y=±$\frac{20}{\sqrt{25+16{k}^{2}}}$．利用△F₁AB面积S=$\frac{1}{2}$|OF₁|•|y₂-y₁|，即可得出面积的最大值．

解答 解：设直线AB的方程为：ky=x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ky}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，
化为（25+16k²）y²=400，
解得y=±$\frac{20}{\sqrt{25+16{k}^{2}}}$．
∴△F₁AB面积S=$\frac{1}{2}$|OF₁|•|y₂-y₁|=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{40}{\sqrt{25+16{k}^{2}}}$
=$\frac{60}{\sqrt{25+16{k}^{2}}}$≤$\frac{60}{5}$=12，
当k=0即AB为椭圆的短轴时，△F₁AB面积取得最大值12．
故答案为：12．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立解得交点、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于中档题．