Question

5．已知A、B分别为锐角三角形两个内角，满足tanA=4tanB，则tan（A-B）取最大值时tanB=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由条件利用两角差的正切公式求得tan（A-B）=$\frac{3tanB}{1+{4tan}^{2}B}$，再利用基本不等式求得它的最大值，分析等号成立条件可得此时tanB的值．

解答 解：∵A、B分别为锐角三角形两个内角，满足tanA=4tanB，∴tanA＞0，tanB＞0，
则tan（A-B）=$\frac{4tanB-tanB}{1+4tanBtanB}$=$\frac{3tanB}{1+{4tan}^{2}B}$≤$\frac{3tanB}{4tanB}$，
当且仅当1=4tan²B，即tanB=$\frac{1}{2}$时，取等号，故tan（A-B）取得最大值时tanB=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查两角差的正切公式、基本不等式的应用，属于基础题．