Question

18．已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若a＞1，证明：当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（-x）；
（3）结合前面两问所得的结论，判断并说明命题“若a＞1，对任意x₁，x₂，x₁≠x₂，f（x₁）=f（x₂），则x₁+x₂＜0．”的真假．

Answer 1

分析 （1）求导数，然后解不等式即可；
（2）这是一问不等式恒成立问题，可转化为函数的最值问题来解，只需构造函数，再用导数研究其单调性，求最值即可；
（3）结合（1）（2）的结论不难得到结论．

解答 解（1）f′（x）=a^xlna+2x-lna，令g（x）=f′（x）=a^xlna+2x-lna，则g′（x）=a^xln2a+2＞0，∴g（x）为（-∞，+∞）上的增函数．
又∵g（0）=0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0，当x＜0时，g（x）＜g（0）=0，即f′（x）＜0．
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）．
（2）由题意，即证当x∈（0，+∞）时，a^x-a^-x-2xlna＞0恒成立．
令g（x）=a^x-a^-x-2xlna．则$g′（x）=（{a}^{x}+\frac{1}{{a}^{x}}-2）lna$．
因为a＞1，所以lna＞0，又${a}^{x}+\frac{1}{{a}^{x}}＞2\sqrt{{a}^{x}•\frac{1}{{a}^{x}}}=2$，
所以${a}^{x}+\frac{1}{{a}^{x}}-2＞0$，故g′（x）＞0，x∈（0，+∞）．
而当x→0时，g（x）→0．所以当x∈（0，+∞）时，a^x-a^-x-2xlna＞0恒成立．
即当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（-x）．
（3）由题意设x₁＜0＜x₂，且f（x₁）=f（x₂）…①
则由（2）可知f（x₂）＞f（-x₂），
代入①可得f（x₁）＞f（-x₂），而x₁＜0，-x₂＜0．
又f（x）在（-∞，0）上递减函数，所以x₁＜-x₂，
即x₁+x₂＜0．
故该命题为真命题．

点评 本题是函数与导数综合题目，考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，恒成立问题，考查分析解决问题的能力．