Question

9．已知$f（x）=cos（{2ωx+\frac{π}{4}}）（{x∈R，ω＞0}）$的最小正周期为π，将y=f（x）的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移|φ|个单位长度，所得的图象关于原点对称，则φ的一个值是（　　）

• A． $\frac{3π}{16}$
• B． $\frac{5π}{16}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{3π}{8}$

Answer 1

分析 由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，求得|φ|=-$\frac{kπ}{4}$-$\frac{π}{16}$，k∈z，从而得出结论．

解答 解：根据已知$f（x）=cos（{2ωx+\frac{π}{4}}）（{x∈R，ω＞0}）$的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=π，求得ω=1，∴f（x）=cos（2x+$\frac{π}{4}$）．
将y=f（x）的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，可得函数y=cos（4x+$\frac{π}{4}$）的图象；
再把所得的图象向右平移|φ|个单位长度，可得函数y=cos[4（x-|φ|）+$\frac{π}{4}$]=cos（4x+$\frac{π}{4}$-4|φ|）的图象．
结合所得的图象关于原点对称，可得 $\frac{π}{4}$-4|φ|=kπ+$\frac{π}{2}$，即|φ|=-$\frac{kπ}{4}$-$\frac{π}{16}$，k∈z，
则φ的一个值是$\frac{3π}{16}$，
故选：A．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．