Question

20．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对?x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）；当x∈（1，2]时，f（x）=2-x，给出如下结论：
①对?m∈Z，有f（2^m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；      
③存在n∈Z，使得f（2ⁿ+1）=9；
④函数f（x）在区间（a，b）单调递减的充分条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2^k，2^k+1），其中所有正确结论的序号是（　　）

• A． ①②④
• B． ①②
• C． ①③④
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①利用已知可得：f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2），即可判断出正误；
②取x∈（2^m，2^m+1），则$\frac{x}{{2}^{m}}$∈（1，2]；$f（\frac{x}{{2}^{m}}）$=2-$\frac{x}{{2}^{m}}$，从而f（x）=2^m+1-x，其中，m=0，1，2，…，即可判断出正误；
③f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1，假设存在n使f（2ⁿ+1）=9，即存在x₁，x₂，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$=10，又，2^x变化如下：2，4，8，16，32，即可判断出正误；
④根据②可知：由②知当x⊆（2^k，2^k+1）时，f（x）=2^k+1-x单调递减，即可判断出正误．

解答 解：①f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2），正确；
②取x∈（2^m，2^m+1），则$\frac{x}{{2}^{m}}$∈（1，2]；$f（\frac{x}{{2}^{m}}）$=2-$\frac{x}{{2}^{m}}$，
从而f（x）=2$f（\frac{x}{2}）$=${2}^{2}f（\frac{x}{{2}^{2}}）$）=…=2^m$f（\frac{x}{{2}^{m}}）$=2^m+1-x，其中，m=0，1，2，…，所以f（x）∈[0，+∞），正确；
③f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1，假设存在n使f（2ⁿ+1）=9，即存在x₁，x₂，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$=10，又，2^x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误；
④根据②可知：由②知当x⊆（2^k，2^k+1）时，f（x）=2^k+1-x单调递减，为减函数，因此函数f（x）在区间（a，b）单调递减的充分条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2^k，2^k+1），∴④正确．
综合以上可得：正确的序号是①②④．
故选：A．

点评 本题考查了抽象函数的性质、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．