Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=1，n∈N₊，若a_n+1=2a_n+n+1，n∈N⁺，求数列的通项a_n．

Answer 1

分析 由数列递推式得到数列{a_n+n+2}是公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式求得数列的通项a_n．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+n+1，∴a_n+1+（n+1）+2=2（a_n+n+2），
即数列{a_n+n+2}是首相为a₁+1+2=4，公比为2的等比数列，
∴${a}_{n}+n+2=4•{2}^{n-1}={2}^{n+1}$，
∴${a}_{n}={2}^{n+1}-n-2$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，关键是构造出等比数列{a_n+n+2}，是中档题．