Question

3．已知点A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），若平面区域Ω由满足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$（$\frac{1}{2}$≤λ≤1，
0≤μ≤1）的点P组成，现从梯形平面区域ABCD内任取一点M，则点M落在区域Ω内的概率为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 设P的坐标为（x，y），根据$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$，结合向量的坐标运算解出$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{x-y}{2}}\\{μ=y}\end{array}\right.$，再由$\frac{1}{2}$≤λ≤1，0≤μ≤1得到关于x、y的不等式组，求出相应的面积，即可求出点M落在区域Ω内的概率．

解答 解：设P的坐标为（x，y），则
$\overrightarrow{AB}$=（2，0），$\overrightarrow{AD}$=（1，1），$\overrightarrow{AP}$=（x，y）
∵$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2λ+μ}\\{y=μ}\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{x-y}{2}}\\{μ=y}\end{array}\right.$
∵$\frac{1}{2}$≤λ≤1，0≤μ≤1，
∴点P坐标满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{1≤x-y≤2}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$
作出不等式组对应的平面区域，如图阴影所示，面积为$\frac{1}{2}×1×1$=0.5．
梯形平面区域ABCD的面积为$\frac{1+2}{2}×1$=1.5
∴点M落在区域Ω内的概率为$\frac{0.5}{1.5}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题在平面坐标系内给出向量等式，求点M落在区域Ω内的概率．着重考查了平面向量的坐标运算、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．