Question

16．“m＞2”是“双曲线${x^2}-\frac{y^2}{m}=1$的离心率大于$\sqrt{2}$”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 先求出双曲线的离心率e=$\sqrt{m+1}$，所以：先看m＞2能否得到$\sqrt{m+1}＞\sqrt{2}$，然后看$\sqrt{m+1}＞\sqrt{2}$能否得到m＞2，从而判断出“m＞2”是“双曲线${x^2}-\frac{y^2}{m}=1$的离心率大于$\sqrt{2}$”的什么条件．

解答 解：双曲线的离心率为$\sqrt{m+1}$；
∴（1）若m＞2，则双曲线的离心率$\sqrt{m+1}＞\sqrt{3}＞\sqrt{2}$；
∴“m＞2”是“双曲线${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{m}=1$的离心率大于$\sqrt{2}$”的充分条件；
（2）若$\sqrt{m+1}＞\sqrt{2}$，则m＞1；
即得不到m＞2；
∴“m＞2”不是“双曲线${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{m}=1$的离心率大于$\sqrt{2}$”必要条件；
综上得“m＞2”是“双曲线${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{m}=1$的离心率大于$\sqrt{2}$”的充分不必要条件．
故选A．

点评 考查双曲线的标准方程，双曲线离心率的概念及求法，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．