Question

4．已知数列{a_n}满足：a_n＞0，且对一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并进行证明；
（3）证明：$\frac{1}{ln{a}_{2}}$+$\frac{1}{ln{a}_{3}}$+…$\frac{1}{ln{a}_{n}}$＞$\frac{3{n}^{2}-n-2}{2n（n+1）}$（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）在数列递推式中，分别取n=1，2，3，4，结合a_n＞0即可求得a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）猜测：a_n=n．然后可直接利用数学归纳法证明；
也可由a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，得到a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=S_n+1²，两式作差并整理得到a_n+1²+a_n+1=2S_n+1，进一步得到a_n²+a_n=2S_n，两式再作差得到a_n+1-a_n=1．从而说明数列{a_n}是以首项为a₁=1，公差为1的等差数列，由此求得a_n=n；
（3）由a_n=n，得$\frac{1}{ln{a}_{n}}=\frac{1}{lnn}$，构造辅助函数f（x）=lnx-x+1，x＞1，求导得到lnx＜x-1，从而得到当n≥2时，对任意n∈N^*，有0＜lnn＜n-1，取倒数得$\frac{1}{lnn}＞\frac{1}{n-1}＞0$，再结合当n≥2，n∈N^*时，1＞$\frac{2}{n+1}$＞0，两式相乘有$\frac{1}{lnn}＞\frac{2}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$，然后累加相消得到$\frac{1}{ln{a}_{2}}$+$\frac{1}{ln{a}_{3}}$+…$\frac{1}{ln{a}_{n}}$＞$\frac{3{n}^{2}-n-2}{2n（n+1）}$（n≥2，n∈N^*）．

解答 （1）解：由a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，得
${{a}_{1}}^{3}={{S}_{1}}^{2}={{a}_{1}}^{2}$，
∵a_n＞0，∴a₁=1；
${{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}=（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}$，即$1+{{a}_{2}}^{3}=（1+{a}_{2}）^{2}$，解得a₂=2；
${{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+{{a}_{3}}^{3}=（{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}）^{2}$，即$9+{{a}_{3}}^{3}=（3+{a}_{3}）^{2}$，解得：a₃=3；
${{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+{{a}_{3}}^{3}+{{a}_{4}}^{3}=（{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}）^{2}$，即$36+{{a}_{4}}^{3}=（6+{a}_{4}）^{2}$，解得a₄=4．
（2）解：由（1）猜测：a_n=n．
证明：法一：
当n=1时，由（1）知，a₁=1，命题成立；
假设当n=k时命题成立，即a_k=k，则a₁³+a₂³+…+a_k³=S_k²，
那么，当n=k+1时，由a₁³+a₂³+…+${{a}_{k}}^{3}$+a_k+1³=S_k+1²
=$（{S}_{k}+{a}_{k+1}）^{2}={{S}_{k}}^{2}+2{S}_{k}{a}_{k+1}+{{a}_{k+1}}^{2}$，得
${{a}_{k+1}}^{3}=2•\frac{k（k+1）}{2}{a}_{k+1}+{{a}_{k+1}}^{2}$，
∵a_n＞0，解得a_k+1=k+1．
即n=k+1时，命题成立．
综上，a_n=n对于任意n∈N^*都成立；
法二：
∵数列{an}满足：a_n＞0，且对一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，…①
∴a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=S_n+1²，…②
①-②得a_n+1³=S_n+1²-S_n²=a_n+1（S_n+1+S_n），
则a_n+1²=S_n+1+S_n=a_n+1+2S_n，
∴a_n+1²-a_n+1=2S_n，
又a_n+1²-a_n+1=2S_n=2S_n+1-2a_n+1，
∴a_n+1²+a_n+1=2S_n+1…③
则a_n²+a_n=2S_n…④
③-④得2a_n+1=（a_n+1²-a_n²）+（a_n+1-a_n），
从而a_n+1-a_n=1．
又由已知易得a₁=1，∴数列{a_n}是以首项为a₁=1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n．
（3）证明：∵a_n=n，∴$\frac{1}{ln{a}_{n}}=\frac{1}{lnn}$，
令f（x）=lnx-x+1，x＞1，
∵${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$＜0，
∴f（x）单调递减，
那么f（x）＜f（1）=0，即lnx＜x-1，
∴当n≥2，对任意n∈N^*，0＜lnn＜n-1，
∴$\frac{1}{lnn}＞\frac{1}{n-1}＞0$，
∵当n≥2，n∈N^*时，1＞$\frac{2}{n+1}$＞0，
∴两式相乘有$\frac{1}{lnn}＞\frac{2}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{ln{a}_{2}}$+$\frac{1}{ln{a}_{3}}$+…$\frac{1}{ln{a}_{n}}$=$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+…+\frac{1}{lnn}$
＞（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$）
=1+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{3{n}^{2}-n-2}{2n（n+1）}$（n≥2，n∈N^*）．

点评 本题考查了由数列递推式求数列的项，考查了由数列递推式求数列的通项公式，训练了由数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了利用导数证明数列不等式，是综合性较强的题目．