Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=15，$\frac{{{a_{n+1}}-{a_n}}}{n}=2$，则$\frac{{a}_{n}}{n}$的最小值为$\frac{27}{4}$．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，利用累加法求出数列的通项公式，得到$\frac{{a}_{n}}{n}$关于n的函数，然后利用函数单调性求得最小值．

解答 解：由$\frac{{{a_{n+1}}-{a_n}}}{n}=2$，得a_n+1-a_n=2n，
∵a₁=15，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=15+2+4+…+2（n-1）=15+2×$\frac{n（n-1）}{2}$=n²-n+15．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=n+$\frac{15}{n}$-1，
令f（x）=x+$\frac{15}{x}-1$，得${f}^{′}（x）=1-\frac{15}{{x}^{2}}=\frac{{x}^{2}-15}{{x}^{2}}$，
∴当n取1，2，3时，n+$\frac{15}{n}$-1减小，当n取大于等于4的自然数时n+$\frac{15}{n}$-1的值增大．
∵n=3时，$\frac{{a}_{n}}{n}$=3+5-1=7；n=4时，$\frac{{a}_{n}}{n}$=4+$\frac{15}{4}$-1=$\frac{27}{4}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$的最小值为$\frac{27}{4}$．
故答案为：$\frac{27}{4}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，考查了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．