Question

14．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与抛物线y²=4x的准线围成的三角形面积为1，则此双曲线的离心率等于$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由抛物线y²=4x，可得准线方程为x=-1．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）可得两条渐近线方程分别为y=±$\frac{b}{a}$x．利用渐近线与抛物线y²=4x的准线围成的三角形面积为1，可得$\frac{1}{2}×1×\frac{2b}{a}$=1，即可得出双曲线的离心率．

解答 解：由抛物线y²=4x，可得准线方程为x=-1．
由双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）可得两条渐近线方程分别为y=±$\frac{b}{a}$x．
x=-1时，y=±$\frac{b}{a}$，
∵渐近线与抛物线y²=4x的准线围成的三角形面积为1，
∴$\frac{1}{2}×1×\frac{2b}{a}$=1，
∴$\frac{b}{a}$=1
∴双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，属于基础题．