Question

6．对于一组向量$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}，…，\overrightarrow{a_n}$（n∈N^*），令$\overrightarrow{S_n}=\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+…+\overrightarrow{a_n}$，如果存在$\overrightarrow{a_p}$（p∈{1，2，3…，n}），使得|$\overrightarrow{a_p}|≥|\overrightarrow{S_n}-\overrightarrow{a_p}$|，那么称$\overrightarrow{a_p}$是该向量组的“h向量”．
（1）设$\overrightarrow{a_n}$=（n，x+n）（n∈N^*），若$\overrightarrow{a_3}$是向量组$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}$的“h向量”，
求实数x的取值范围；
（2）若$\overrightarrow{a_n}=（{（\frac{1}{3}）^{n-1}}，{（-1）^n}）$（n∈N^*），向量组$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}，…，\overrightarrow{a_n}$是否存在“h向量”？
给出你的结论并说明理由；
（3）已知$\overrightarrow{a_1}、\overrightarrow{a_2}、\overrightarrow{a_3}$均是向量组$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}$的“h向量”，其中$\overrightarrow{a_1}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{a_2}$=（2cosx，2sinx）．设在平面直角坐标系中有一点列Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n满足：Q₁为坐标原点，Q₂为$\overrightarrow{a_3}$的位置向量的终点，且Q_2k+1与Q_2k关于点Q₁对称，Q_2k+2与Q_2k+1（k∈N^*）关于点Q₂对称，求|$\overrightarrow{{Q_{2013}}{Q_{2014}}}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过“h向量”的定义直接计算即可；
（2）通过“h向量”的定义，对n分奇偶数讨论即可；
（3）通过计算可得$\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}=\overrightarrow 0$，设$\overrightarrow{a_3}=（u，v）$、Q_n（x_n，y_n），依题意计算可得$\overrightarrow{{Q}_{2k+1}{Q}_{2k+2}}$=$4k\overrightarrow{{Q}_{1}{Q}_{2}}$，利用基本不等式可得$|\overrightarrow{{Q}_{1}{Q}_{2}}{|}^{2}$≥1当且仅当$x=tπ-\frac{π}{4}$（t∈Z）时等号成立，故$|\overrightarrow{{Q_{2013}}{Q_{2014}}}{|_{min}}=4024$．

解答 解：（1）由题意，得：$|\overrightarrow{a_3}|≥|\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}|$，
则$\sqrt{9+{{（x+3）}^2}}≥\sqrt{9+{{（2x+3）}^2}}$，
解得：-2≤x≤0；
（2）结论：$\overrightarrow{a_1}$是向量组$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}，…，\overrightarrow{a_n}$的“h向量”．
理由如下：
$\overrightarrow{a_1}=（1，-1）$，$|\overrightarrow{a_1}|=\sqrt{2}$，
当n为奇数时，$\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+…+\overrightarrow{a_n}=（\frac{{\frac{1}{3}[1-{{（\frac{1}{3}）}^{n-1}}]}}{{1-\frac{1}{3}}}，0）=（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}，0）$，
∴$0≤\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}＜\frac{1}{2}$，
故$|\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+…+\overrightarrow{a_n}|$=$\sqrt{{{[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•{{（\frac{1}{3}）}^{n-1}}]}^2}+{0^2}}＜\frac{1}{2}＜\sqrt{2}$，
即$|\overrightarrow{a_1}|＞|\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+…+\overrightarrow{a_n}|$；
当n为偶数时，$\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+…+\overrightarrow{a_n}=（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}，1）$，
故$|\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+…+\overrightarrow{a_n}|$=$\sqrt{{{[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•{{（\frac{1}{3}）}^{n-1}}]}^2}+{1^2}}＜\sqrt{\frac{5}{4}}＜\sqrt{2}$，
即$|\overrightarrow{a_1}|＞|\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+…+\overrightarrow{a_n}|$；
综合得：$\overrightarrow{a_1}$是向量组$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}，…，\overrightarrow{a_n}$的“h向量”；
（3）由题意，得：$|\overrightarrow{a_1}|≥|\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}|$，$|\overrightarrow{a_1}{|^2}≥|\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}{|^2}$，
即${\overrightarrow{a_1}^2}≥{（\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}）^2}$，即${\overrightarrow{a_1}^2}≥{\overrightarrow{a_2}^2}+{\overrightarrow{a_3}^2}+2\overrightarrow{a_2}•\overrightarrow{a_3}$，
同理${\overrightarrow{a_2}^2}≥{\overrightarrow{a_1}^2}+{\overrightarrow{a_3}^2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_3}$，${\overrightarrow{a_3}^2}≥{\overrightarrow{a_1}^2}+{\overrightarrow{a_2}^2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_2}$，
三式相加并化简，得：$0≥{\overrightarrow{a_1}^2}+{\overrightarrow{a_2}^2}+{\overrightarrow{a_3}^2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_3}+2\overrightarrow{a_2}•\overrightarrow{a_3}$，
即${（\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}）^2}≤0$，$|\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}|≤0$，所以$\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}=\overrightarrow 0$，
设$\overrightarrow{a_3}=（u，v）$，由$\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}=\overrightarrow 0$得：$\left\{\begin{array}{l}u=-sinx-2cosx\\ v=-cosx-2sinx\end{array}\right.$，
设Q_n（x_n，y_n），则依题意得：$\left\{\begin{array}{l}（{x_{2k+1}}，{y_{2k+1}}）=2（{x_1}，{y_1}）-（{x_{2k}}，{y_{2k}}）\\（{x_{2k+2}}，{y_{2k+2}}）=2（{x_2}，{y_2}）-（{x_{2k+1}}，{y_{2k+1}}）\end{array}\right.$，
得（x_2k+2，y_2k+2）=2[（x₂，y₂）-（x₁，y₁）]+（x_2k，y_2k）
故（x_2k+2，y_2k+2）=2k[（x₂，y₂）-（x₁，y₁）]+（x₂，y₂）（x_2k+1，y_2k+1）
=-2k[（x₂，y₂）-（x₁，y₁）]+（x₂，y₂），
所以$\overrightarrow{{Q_{2k+1}}{Q_{2k+2}}}=（{x_{2k+2}}-{x_{2k+1}}，{y_{2k+2}}-{y_{2k+1}}）=4k[（{x_2}，{y_2}）-（{x_1}，{y_1}）]=4k\overrightarrow{{Q_1}{Q_2}}$，$|\overrightarrow{{Q_1}{Q_2}}{|^2}=|\overrightarrow{a_3}{|^2}={（-sinx-2cosx）^2}+{（-cosx-2sinx）^2}=5+8sinxcosx=5+4sin2x≥1$
当且仅当$x=tπ-\frac{π}{4}$（t∈Z）时等号成立，
故$|\overrightarrow{{Q_{2013}}{Q_{2014}}}{|_{min}}=4024$．

点评 本题考查新定义，向量模的计算，等比数列的求和，二倍角公式，基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．