Question

11．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（I）求f（x）在R上的单调递增区间；
（II）设x₀（x₀∈（0，$\frac{π}{4}$））是函数y=f（x）的一个零点，求cos（2x₀）的值．

Answer 1

分析 （I）由图象可求A，即可解得b，由周期公式解得ω，由$\frac{1}{2}$sin（2×$\frac{π}{6}+$φ）$-\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，结合范围φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），解得φ，由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得f（x）在R上的单调递增区间．
（II）由条件可得：f（x₀）=$\frac{1}{2}$sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{3}=0$，即sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，可证f（x）在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）上是减函数，由x₀∈（0，$\frac{π}{6}$），可得范围2x₀+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），由同角三角函数关系式可求cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）的值，从而由cos2x₀=cos[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]即可得解．

解答 解：（I）由图象可知，A=$\frac{\frac{1}{6}-（-\frac{5}{6}）}{2}$=$\frac{1}{2}$，故b=$\frac{1}{6}-\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{3}$，
$\frac{T}{2}=\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即T=π，于是由$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2．
∵$\frac{1}{2}$sin（2×$\frac{π}{6}+$φ）$-\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，且φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
解得φ=$\frac{π}{6}$．
∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{3}$…4分
由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得kπ$-\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
即f（x）在R上的单调递增区间为：[kπ$-\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z…6分
（II）由条件可得：f（x₀）=$\frac{1}{2}$sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{3}=0$，即sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，
∵f（$\frac{π}{6}$）•f（0）＜0且f（x）在（0，$\frac{π}{6}$）上是增函数，f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{6}＞0$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{3}＞0$，f（x）在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）上是减函数，
∴x₀∈（0，$\frac{π}{6}$），
∴2x₀+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），…9分
∴cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cos2x₀=cos[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{15}+2}{6}$…12分

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．