Question

20．已知：曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$ （t为参数）
（1）求曲线C与直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相切，求a值．

Answer 1

分析 （1）直接把圆的极坐标方程转化成直角坐标方程，把直线的参数方程转化为直角坐标方程．
（2）首先把圆的一般式转化为圆的标准式，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），
转化成直角坐标方程为：x²+y²-ax=0，
直线直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$ （t为参数），
转化成直角坐标方程为：x-y-1=0．
（2）曲线C的方程：x²+y²-ax=0，转化为标准形式为：$（x-\frac{a}{2}）^{2}+{y}^{2}=\frac{{a}^{2}}{4}$，
所以：圆心$C（\frac{a}{2}，0）$，半径$r=\frac{a}{2}$．
由于直线l与圆C相切，
所以：$\frac{{|{\frac{a}{2}-1}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{a}{2}$（a＞0），
解得：$a=2（\sqrt{2}-1）$．

点评 本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，圆的一般式与标准式的转化，直线与圆相切的充要条件的应用，主要考查学生的应用能力．