Question

16．已知数列{a_n}满足a₁=1，|a_n-a_n-1|=$\frac{1}{{3}^{n}}$（n∈N，n≥2），且{a_2n-1}是递减数列，{a_2n}是递增数列，则12a₁₀=（　　）

• A． 6-$\frac{1}{{3}^{10}}$
• B． 6-$\frac{1}{{3}^{9}}$
• C． 11-$\frac{1}{{3}^{10}}$
• D． 11-$\frac{1}{{3}^{9}}$

Answer 1

分析 根据数列的单调性和|a_n-a_n-1|=$\frac{1}{{3}^{n}}$，由不等式的可加性，求出a_2n-a_2n-1=$-\frac{1}{{3}^{2n}}$和a_2n+1-a_2n=$\frac{1}{{3}^{2n+1}}$，再对数列{a_n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a_n}的偶数项对应的通项公式，则12a₁₀可求．

解答 解：由|a_n-a_n-1|=$\frac{1}{{3}^{n}}$，
则|a_2n-a_2n-1|=$\frac{1}{{3}^{2n}}$，|a_2n+2-a_2n+1|=$\frac{1}{{3}^{2n+2}}$，
∵数列{a_2n-1}是递减数列，且{a_2n}是递增数列，
∴a_2n+1-a_2n-1＜0，且a_2n+2-a_2n＞0，
则-（a_2n+2-a_2n）＜0，两不等式相加得
a_2n+1-a_2n-1-（a_2n+2-a_2n）＜0，即a_2n-a_2n-1＜a_2n+2-a_2n+1，
又∵|a_2n-a_2n-1|=$\frac{1}{{3}^{2n}}$＞|a_2n+2-a_2n+1|=$\frac{1}{{3}^{2n+2}}$，
∴a_2n-a_2n-1＜0，即${a}_{2n}-{a}_{2n-1}=-\frac{1}{{3}^{2n}}$，
同理可得：a_2n+3-a_2n+2＜a_2n+1-a_2n，
又|a_2n+3-a_2n+2|＜|a_2n+1-a_2n|，
则a_2n+1-a_2n=$\frac{1}{{3}^{2n+1}}$，
当数列{a_n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N^*），
${a}_{2}-{a}_{1}=-\frac{1}{{3}^{2}}，{a}_{3}-{a}_{2}=\frac{1}{{3}^{3}}$，…，${a}_{2m-1}-{a}_{2m-2}=\frac{1}{{3}^{2m-1}}$，${a}_{2m}-{a}_{2m-1}=-\frac{1}{{3}^{2m}}$，
这2m-1个等式相加可得，a_2m-a₁=-（$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{4}}+…+\frac{1}{{3}^{2m}}$）+（$\frac{1}{{3}^{3}}+\frac{1}{{3}^{5}}+…+\frac{1}{{3}^{2m-1}}$），
∴${a}_{2m}={a}_{1}-\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{9}^{m}}）}{1-\frac{1}{9}}+\frac{\frac{1}{27}（1-\frac{1}{{9}^{m-1}}）}{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{22}{24}-\frac{1}{4}•\frac{1}{{3}^{2m}}$．
∴12a₁₀=$12（\frac{22}{24}-\frac{1}{4}•\frac{1}{{3}^{10}}）=11-\frac{1}{{3}^{9}}$．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．