Question

1．设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）已知关于x的不等式a-3|x-3|＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用两边平方法，去绝对值，再由二次不等式的解法，即可得到所求解集；
（Ⅱ）运用参数分离和不等式恒成立思想方法，由绝对值不等式的性质，求得右边的最大值，即可得到所求a的范围．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＞0等价于|2x+1|＞|x-3|，
两边平方得：4x²+4x+1＞x²-6x+9，
即3x²-10x-8＞0，
解得x＜-$\frac{2}{3}$或x＞4，
所以原不等式的解集是：（-∞，-$\frac{2}{3}$）∪（4，+∞）；
（Ⅱ）不等式a-3|x-3|＜f（x）等价于a＜|2x+1|+2|x-3|，
因为|2x+1|+2|x-3|≥|（2x+1）-2（x-3）|=7，
即有a＜7．
所以a的取值范围是（-∞，7）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，主要考查绝对值不等式的性质和平方法解绝对值的方法，考查运算能力，属于中档题．