Question

13．正实数数列{a_n}满足：a₁=1，a₉=7，且a_n+1=$\frac{（{a}_{n}+1）^2-（{a}_{n-1}+1）}{{a}_{n-1}+1}$（n∈N⁺，n≥2）则a₅=（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 16
• D． 9

Answer 1

分析 由数列递推式得到数列{a_n+1}是等比数列，由等比数列的性质结合已知求得答案．

解答 解：由a_n+1=$\frac{（{a}_{n}+1）^2-（{a}_{n-1}+1）}{{a}_{n-1}+1}$，得${a}_{n+1}=\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{{a}_{n-1}+1}-1$，
即$（{a}_{n+1}+1）（{a}_{n-1}+1）=（{a}_{n}+1）^{2}$（n∈N⁺，n≥2），
∴数列{a_n+1}是等比数列，
则$（{a}_{5}+1）^{2}=（{a}_{1}+1）（{a}_{9}+1）=2×8=16$，
∵a_n＞0，∴a₅+1=4，则a₅=3．
故选：B．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的性质，是中档题．