Question

18．设f（x）=|x-a|-$\frac{4}{x}$+a，x∈[1，6]，a∈（1，6）．
（Ⅰ）若a∈（1，2]，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用绝对值的定义，将f（x）转化，讨论a∈（1，2]，函数f（x）在[1，a]上，在[a，6]上的单调性即可得到；
（Ⅱ）讨论①当1＜a≤2时，②当2＜a＜6时，函数的单调性，即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）首先f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-（x+\frac{4}{x}），1≤x≤a}\\{x-\frac{4}{x}，a＜x≤6}\end{array}\right.$，
因为当1＜a≤2时，f（x）在[1，a]上是增函数，在[a，6]上也是增函数．
所以当1＜a≤2时，y=f（x）在[1，6]上是增函数；      
（Ⅱ）①当1＜a≤2时，由（Ⅰ）知，f（x）_min=f（1）=2a-5，
 ②当2＜a＜6时，f（x）在[1，2]上是增函数，在[2，a]上是减函数，在[a，6]上是增函数．                                                   
又f（1）=2a-5，f（a）=a-$\frac{4}{a}$，且f（1）-f（a）=a+$\frac{4}{a}$-5＞0，解得4＜a＜6
所以当2＜a＜4时，f（x）_min=f（1）=2a-5，
当4≤a＜6时，f（x）_min=f（a）=a-$\frac{4}{a}$．
综上可知，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{2a-5，1＜a＜4}\\{a-\frac{4}{a}，4≤a＜6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调区间和最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法和函数的单调性的性质是解题的关键．