Question

2．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tanA+tanB=$\frac{2sinC}{cosA}$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$=3，求sinAsinC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（Ⅱ）已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理列出关系式，把得出关系式及cosB的值代入，并利用正弦定理化简，即可求出siniAsinC的值．

解答 解：（Ⅰ）已知等式变形得：$\frac{sinA}{cosA}$+$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{2sinC}{cosA}$，
去分母得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，即sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，
∵sinC≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
则B=60°；
（Ⅱ）由$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$=3，整理得：a²+c²=3ac，
∵cosB=$\frac{1}{2}$，a²+c²=3ac，
∴b²=a²+c²-2accosB=2ac，
由正弦定理得：sin²B=2sinAsinC=$\frac{3}{4}$，
则sinAsinC=$\frac{3}{8}$．

点评 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，正弦、余弦定理，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．