Question

12．已知A，B，C为不共线的三点，则“$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}＞0$”是“△ABC是钝角三角形”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 从两个方向判断：一个是看$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}＞0$能否得到△ABC为钝角三角形，另一个看△ABC为钝角三角形能否得到$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}＞0$，这样即可判断出“$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}＞0$”是“△ABC是钝角三角形”的什么条件．

解答 解：如图，
（1）若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}＞0$，则cos$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CA}＞$＞0；
∴∠A＞90°，即△ABC是钝角三角形；
（2）若△ABC为钝角三角形，则∠A不一定为钝角；
∴不一定得到$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}＞0$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}＞0$是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．
故选A．

点评 考查数量积的计算公式，向量夹角的概念及范围，以及钝角三角形的概念，充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．