Question

20．已知正项等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}=4{a}_{1}$，则$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{25}{6}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m，n之间的关系，用基本不等式得到最小值．

解答 解：∵a₇=a₆+2a₅，
∴a₅q²=a₅q+2a₅，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}=4{a}_{1}$，
∴a_ma_n=16a₁²，
∴q^m+n-2=16=2⁴，而q=2，
∴m+n-2=4，
∴m+n=6，
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=$\frac{1}{6}$（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{6}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）≥$\frac{1}{6}$（5+4）=$\frac{3}{2}$，当且仅当m=2，n=4时等号成立，
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值为$\frac{3}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和