Question

9．设f（x）=xlnx+ax²，a为常数．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，-2），求实数a的值；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂且x_l＜x₂
①求证：$-\frac{1}{2}$＜a＜0
②求证：f （x₂）＞f （x₁）＞$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式计算即可得到a=1；
（2）①由题意可得f′（x）=0有两个不等的实根x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，设g（x）=lnx+1+2ax，求出导数，对a讨论，分a≥0，a＜0，求出单调区间和极值，令极大值大于0，即可得到a的范围；
②由上可知，f（x）在（x₁，x₂）递增，即有f（x₂）＞f（x₁），求出x₁∈（0，1），设h（x）=$\frac{1}{2}$（xlnx-x），0＜x＜1，求出导数，判断单调性，运用单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（1）f（x）=xlnx+ax²的导数为f′（x）=lnx+1+2ax，
在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切点为（1，a），
在x=1处的切线过点A（0，-2），则k=1+2a=a+2，
解得a=1；
（2）证明：①由题意可得f′（x）=0有两个不等的实根x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，
设g（x）=lnx+1+2ax，g′（x）=$\frac{1}{x}$+2a，x＞0．
当a≥0，则g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，不合题意；
当a＜0时，g′（x）＞0解得x＜-$\frac{1}{2a}$，g′（x）＜0解得x＞-$\frac{1}{2a}$，
即有g（x）在（0，-$\frac{1}{2a}$）递增，在（-$\frac{1}{2a}$，+∞）递减．
即有g（-$\frac{1}{2a}$）=ln（-$\frac{1}{2a}$）＞0，解得-$\frac{1}{2}$＜a＜0；
②由上可知，f（x）在（x₁，x₂）递增，即有f（x₂）＞f（x₁），
f′（1）=g（1）=1+2a＞0，则x₁∈（0，1），由①可得ax₁=$\frac{-1-ln{x}_{1}}{2}$，
即有f（x₁）=x₁lnx₁+ax₁²=$\frac{1}{2}$（x₁lnx₁-x₁），
设h（x）=$\frac{1}{2}$（xlnx-x），0＜x＜1，
h′（x）=$\frac{1}{2}$lnx＜0在（0，1）恒成立，
故h（x）在（0，1）递减，故h（x）＞h（1）=-$\frac{1}{2}$，
由此可得f（x₁）＞-$\frac{1}{2}$，
综上可得，f （x₂）＞f （x₁）＞$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，同时考查函数的单调性的运用：求参数的范围和证明不等式，运用构造函数和分类讨论的思想方法及不等式恒成立思想是解题的关键．