Question

4．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=5，S₃=64，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}≤2-\frac{1}{n}$（n≥1，n∈N）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用等差数列建立方程组求出数列的通项公式．
（Ⅱ）利用通项公式求出数列的前n项和，进一步利用放缩法和裂项相消法求出结果．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，已知：a₃=5，S₃=64，
则：$\left\{\begin{array}{l}{a}_{3}={a}_{1}+2d=5\\{S}_{8}=8{a}_{1}+\frac{7×8}{2}d=64\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}=1\\ d=2\end{array}\right.$，
所以：a_n=2n-1
证明：（Ⅱ）利用a_n=2n-1，
所以：${S}_{n}=\frac{n（1+2n-1）}{2}={n}^{2}$，
$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{{n}^{2}}＜\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$（n≥2）
所以：$\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}+$…+$\frac{1}{{n}^{2}}$$＜1+（1-\frac{1}{2}）$+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$，
当n=1时，$\frac{1}{{S}_{1}}=1=2-\frac{1}{1}=1$
所以：$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}≤2-\frac{1}{n}$（n≥1，n∈N）．

点评 本题考查的知识要点：利用等差数列的关系式求数列的通项公式，利用放缩法和裂项相消法求数列的前n项和，主要考察学生的应用能力．