Question

15．斜率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的直线与焦点在x轴上的椭圆x²+$\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0）交于不同的两点P、Q．若点P、Q在x轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 画出图形，结合图形，得出直线与椭圆两交点坐标，根据两点间的斜率公式，求出焦距；

解答 解：由题意知：直线与椭圆两交点的横坐标为-c，c，纵坐标分别为-$\frac{{b}^{2}}{a}$，$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴由直线的斜率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可得$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}-（-\frac{{b}^{2}}{a}）}{c-（-c）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$转化为：2b²=$\sqrt{2}$ac，
2（a²-c²）=$\sqrt{2}$ac，a=1，
即2c²+$\sqrt{2}c$-2=0，
解得c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，（负根舍去）
∴椭圆的焦距为：$\sqrt{2}$；
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的几何性质及直线的斜率公式和离心率公式的应用问题，也考查了点到直线的距离公式的应用问题，是中档题．