Question

4．在平面直角坐标系内，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为不同的两点，直线l的方程为ax+by+c=0，$λ=\frac{{a{x_1}+b{y_1}+c}}{{a{x_2}+b{y_2}+c}}$．给出下列5个命题：
①存在实数λ，使点N在直线l上；
②若λ=1，则过M，N两点的直线与直线l平行；
③若λ=-1，则直线l经过线段MN的中点；
④若λ＞1，则点M，N在直线l的同侧；
⑤若0＜λ＜1，则点M，N在直线l的异侧．
其中正确的命题是②③④（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 ①．由$λ=\frac{{a{x_1}+b{y_1}+c}}{{a{x_2}+b{y_2}+c}}$可得：（ax₂+by₂+c≠0），即可判断出点N（x₂，y₂）与直线l的关系．
②．λ=1，则a（x₁-x₂）+b（y₁-y₂）=0，即过过M，N两点的直线与直线l的斜率的关系，又点N（x₂，y₂）不在直线l上，即可判断出两条直线位置关系；
③．λ=-1，ax₁+by₁+c+（ax₂+by₂+c）=0，化为$a•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+$b•\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$+c=0，即可判断出正误；
④．由（ax₁+by₁+c）（λ（ax₂+by₂+c）＞0，即可判断出点M，N与直线l的位置关系；
⑤．同④可知：点M，N在直线l的同侧．

解答 解：对于①，$λ=\frac{{a{x_1}+b{y_1}+c}}{{a{x_2}+b{y_2}+c}}$化为：ax₁+by₁+c-λ（ax₂+by₂+c）=0（ax₂+by₂+c≠0），即点N（x₂，y₂）不在直线l上，因此①不正确．
对于②，λ=1，则a（x₁-x₂）+b（y₁-y₂）=0，即过过M，N两点的直线与直线l的斜率相等，又点N（x₂，y₂）不在直线l上，因此两条直线平行，正确；
对于③，λ=-1，则ax₁+by₁+c+（ax₂+by₂+c）=0，化为$a•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+$b•\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$+c=0，因此直线l经过线段MN的中点，正确；
对于④，λ＞1，则（ax₁+by₁+c）（λ（ax₂+by₂+c）＞0，则点M，N在直线l的同侧，正确；
对于⑤，若0＜λ＜1，同④可知：点M，N在直线l的同侧，因此不正确．
综上可知：只有②③④正确．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．