Question

19．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，记第n个图形的边长a_n，周长为b_n．

（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若第n个图形的面积为S_n，试探究S_n，S_n-1，（n≥2）满足的关系式，并证明：S_n＜$\frac{2\sqrt{3}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）根据图形关系，建立图形边长和周长之间的关系即可求出数列的通项公式．
（2）根据归纳推理，求出两个图形的面积之间的关系，结合等比数列的通项公式进行求和即可得到结论．

解答 解：设第n个图形的边长为a_n，
由题意知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的$\frac{1}{3}$，
所以数列{a_n}是首项为1，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
故a_n=（$\frac{1}{3}$）^n-1，
要计算第n个图形的周长，只需计算第n个图形的边数，
设第n个图形的边数为c_n，第1个图形的边数为3，因为从第2个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍，所以第n个图形的边数为3×4^n-1，
因此，第n个图形的周长b_n=b_n×c_n=（$\frac{1}{3}$）^n-1×（3×4^n-1）=3×（$\frac{4}{3}$）^n-1．
（2）S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，当n≥2时，S_n=S_n-1+c_n×（$\frac{\sqrt{3}}{4}×{{a}_{n}}^{2}$）=S_n-1+3×${4}^{n-2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×[（\frac{1}{3}）^{n-1}]^{2}$=S_n-1+$\frac{3\sqrt{3}}{16}×（\frac{4}{9}）^{n-1}$，
则S_n=S₁+（S₂-S₁）+（S₃-S₂）+…+（S_n-S_n-1）
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{3\sqrt{3}}{16}[$$\frac{4}{9}+（\frac{4}{9}）^{2}+（\frac{4}{9}）^{3}+…+（\frac{4}{9}）^{n-1}]$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{3\sqrt{3}}{16}$×$\frac{\frac{4}{9}[1-（\frac{4}{9}）^{n-1}]}{1-\frac{4}{9}}$
=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$$-\frac{3\sqrt{3}}{20}×（\frac{4}{9}）^{n-1}$，
则S_n＜$\frac{2\sqrt{3}}{5}$成立．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和公式的应用，根据归纳推理建立数列的递推关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．