Question

4．已知$\overrightarrow{OA}$=（0，2），$\overrightarrow{OB}$=（2，0），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）（α∈R），则$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$成角的取值范围为[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]．

Answer 1

分析 易得C（2+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）为圆心为（2，0）半径为$\sqrt{2}$的圆M上的任意一点，由直线和圆相切可得．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$=（0，2），$\overrightarrow{OB}$=（2，0），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），
∴$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{BC}$=（2+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），∴C（2+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），
∵C（2+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）为圆心为（2，0）半径为$\sqrt{2}$的圆M上的任意一点，
设y=kx为圆M的切线，则$\frac{|2k-0|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，解得k=±1，
∴两切线的倾斜角为45°和135°，
∴两切线和y轴正半轴的夹角为135°和45°，
∴$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$成角的取值范围为[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]．
故答案为：[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]

点评 本题考查向量夹角的取值范围，数形结合是解决问题的关键，属中档题．