Question

9．已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若-1，S₅，S₁₀成等差数列，则S₁₀-2S₅=1，S₁₅-S₁₀的最小值为4．

Answer 1

分析 由题意和等差数列易得第一问；再根据S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀为等比数列，可得S₁₅-S₁₀为S₅的式子，由基本不等式可得第二问．

解答 解：∵-1，S₅，S₁₀成等差数列，
∴2S₅=S₁₀-1，∴S₁₀-2S₅=1，
又由等比数列的性质可得S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀为等比数列，
∴S₅（S₁₅-S₁₀）=（S₁₀-S₅）²，
∴S₁₅-S₁₀=$\frac{（{S}_{10}-{S}_{5}）^{2}}{{S}_{5}}$=$\frac{（1+2{S}_{5}-{S}_{5}）^{2}}{{S}_{5}}$
=S₅+$\frac{1}{{S}_{5}}$+2≥2$\sqrt{{S}_{5}•\frac{1}{{S}_{5}}}$+2=4，
当且仅当S₅=$\frac{1}{{S}_{5}}$即S₅=1时取等号，
∴S₁₅-S₁₀的最小值为4，
故答案为：1；4．

点评 本题考查等比数列的求和公式的性质，涉及基本不等式求最值，属中档题．